Cela n’étonnera personne : de nos jours, les progrès en mathématiques profitent de la disponibilité de la puissance informatique pour accélérer les calculs ou vérifier les démonstrations. On l’a vu par exemple courant 2024 lors de l’annonce d’un nouveau nombre premier, le plus grand découvert alors, avec l’aide d’une puce de pointe fournie par Nvidia.
Dans ce domaine, l’intelligence artificielle générative joue un rôle croissant. Début 2026, on se souvient que le modèle GPT-5.2 Pro était impliqué dans la résolution de plusieurs problèmes de mathématiques, dont l’un était resté ouvert pendant presque un demi-siècle. Quelques semaines plus tard, une startup mêlant IA et maths revendiquait la résolution d’une conjecture.
Une situation qui a amené Terence Tao, l’une des plus grandes pointures en maths, à reconnaître l’IA générative comme un outil prometteur. Dans les colonnes de The Atlantic, fin février, il a cependant tempéré l’enthousiasme ambiant. À ses yeux, les exploits actuels relèvent souvent de victoires faciles sur des problèmes plutôt mineurs.
Pour le dire autrement, l’IA actuelle est un excellent « co-auteur junior » capable d’abattre les calculs fastidieux, ce qui pourrait permettre aux mathématiques de passer d’études de cas isolés à des analyses « à grande échelle ». Mais elle n’est pas encore en mesure de proposer une véritable révolution créative, qui chamboulerait les maths en profondeur.
En attendant le grand soir, des avancées continuent d’être observées. La dernière en date ? Celle faite par Donald Knuth avec l’aide inattendue d’une intelligence artificielle.
Une agréable surprise pour une légende de l’informatique, et un choc
En matière d’informatique et de mathématiques, Donald Knuth n’est pas n’importe qui. Professeur émérite au département d’informatique de l’université de Stanford, récipiendaire en 1974 du Prix Turing (l’équivalent du Prix Nobel pour l’informatique) pour l’analyse des algorithmes et la conception des langages de programmation, il a sa propre page Wikipédia.
L’intéressé, qui est aussi à la tête de The Art of Computer Programming, une série de livres toujours en cours de publication, a récemment partagé son étonnement. Fin février 2026, il a publié un document intitulé Claude’s Cycles dans lequel il avoue son « choc » :
En l’espèce, un problème mathématique ouvert sur lequel il travaillait depuis plusieurs semaines venait d’être résolu par Claude Opus 4.6, le modèle de raisonnement hybride d’Anthropic sorti début février.
« Il semble que je vais devoir revoir mon opinion sur l’IA générative un de ces jours », a-t-il écrit dans son document, signe de sa surprise. « Quelle joie d’apprendre non seulement que ma conjecture a une belle solution, mais aussi de célébrer cette avancée spectaculaire dans le domaine de la déduction automatique et de la résolution créative de problèmes. »
Le défi : un casse-tête de graphes en 3 dimensions
Et c’est justement en écrivant sur le prochain volume The Art of Computer Programming, dans lequel il était question de cycle hamiltonien d’un graphe orienté, que le problème s’est posé. Ce sujet est lié à la théorie des graphes, où l’on cherche notamment à déterminer un chemin qui passe par tous les sommets une fois et une seule.
Pour être plus précis, Donald Knuth cherchait une règle générale pour décomposer les arcs d’un graphe très spécifique (avec trois arcs partant de chaque sommet), et ce pour tout nombre entier m supérieur à 2. S’il avait réussi à résoudre ce problème à la main pour le cas où m = 3, il peinait à trouver une généralisation.
L’un de ses proches, Filip Stappers, avait de son côté réussi à trouver des solutions de manière empirique pour les nombres allant de 4 à 16. Face à ce défi, c’est d’ailleurs Filip Stappers qui a eu l’audace de soumettre le problème à l’intelligence artificielle, en utilisant très exactement l’énoncé formulé par Knuth :
** Après CHAQUE exécution de exploreXX.py, mettez IMMÉDIATEMENT à jour ce fichier [plan.md] avant de faire quoi que ce soit d’autre. ** Aucune exception. Ne commencez pas l’exploration suivante tant que la précédente n’a pas été documentée ici.
Quand la machine documente sa réflexion
Filip Stappers a ainsi coaché le chatbot pour qu’il suive des consignes très strictes — c’est d’ailleurs ce qu’il faut généralement faire pour avoir un bon résultat. De la qualité du prompt dépend très souvent la qualité du résultat. Il faut précisément indiquer ce qu’il faut faire ou ne pas faire au chatbot, et si besoin ajuster les règles au fur et à mesure.
Ici, Claude devait impérativement actualiser un fichier de planification pour y consigner ses progrès après chaque tentative (ou exploration), avant d’être autorisée à passer à la suivante. « Et le plan d’attaque de Claude était tout à fait admirable. Il a d’abord reformulé le problème », note Donald Knuth, « puis il a essayé de trouver une réponse simple. »
Par la suite, l’IA générative a tenté une approche par la force brute, avec une tentative de recherche en profondeur, puis elle a exploré des analyses en 2D et en 3D, et ainsi de suite. Ainsi, Donald Knuth a comptabilisé pas moins de 25 explorations avant que le modèle constate avoir besoin de « recourir aux mathématiques pures » pour obtenir une construction générale.
« Claude s’est alors mis à réfléchir différemment. À un moment donné, il s’est dit : peut-être que la bonne approche est la suivante : ne pas penser en termes de fibres, mais directement en termes de ce qui constitue un cycle hamiltonien », selon le mathématicien. Les explorations ont continué, jusqu’à la percée espérée (31e), une heure après le début de la session.
Le résultat ? Une construction en béton, avec des résultats valides pour m = 3, 5, 7, 9 et 11. « Hourra ! Les trois cycles sont hamiltoniens, tous les arcs sont utilisés, décomposition parfaite ! ». Et cela ne s’arrête pas là. Filip Stappers a testé le programme pour toutes les valeurs impaires de m allant de 3 à 101, trouvant à chaque fois des décompositions parfaites.
« Il en a donc conclu, de manière tout à fait raisonnable, que le problème était effectivement résolu pour les valeurs impaires de m. Et il m’a rapidement envoyé cette nouvelle surprenante », ajoute Donald Knuth. Mais l’intéressé a reconnu lui aussi la limite de l’exercice. Il manquait ici une preuve mathématique rigoureuse.
Ainsi, comme le disait Terence Tao avec la métaphore du « co-auteur junior », l’IA ne remplace pas encore le chercheur principal, mais elle apporte un appui notable. C’est Donald Knuth qui s’est attelé à la démonstration mathématique visant à prouver que la logique trouvée par la machine fonctionnerait infailliblement pour n’importe quel nombre impair.
Un angle mort irrésolu : celui des nombres pairs
En outre, il reste tout un angle mort : les nombres pairs.
« Ce problème de décomposition reste ouvert même pour les valeurs paires de m. Le cas m = 2 a été prouvé impossible il y a longtemps » relève le mathématicien. « Claude a déclaré avoir trouvé des solutions pour m = 4, m = 6 et m = 8, mais ne voyait aucun moyen de généraliser ces résultats », est-il précisé.
Quand Filip Stappers a demandé à Claude de s’attaquer à cette seconde moitié de l’énigme, la machine a perdu pied, devenant même incapable d’écrire et d’exécuter correctement ses propres programmes d’exploration. « Après un certain temps, [Claude] semblait bloqué […], ce qui était très étrange. J’ai donc arrêté la recherche », a-t-il été rapporté.
Malgré ce blocage final, cette collaboration inattendue reste perçue comme un succès retentissant.
En guise de conclusion à son document, Donald Knuth s’amuse d’ailleurs à imaginer que l’esprit de Claude Shannon (l’un des plus célèbres pionniers de l’informatique et père de la théorie de l’information) serait sans doute fier de voir son prénom associé à de telles avancées, avec un modèle d’IA aussi remarquable. « Chapeau bas à Claude ! ».
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