C’est un nouveau coup de tonnerre dans le ciel de plus en plus trouble des mathématiciens. L’entreprise américaine OpenAI a mis en ligne, mardi 6 octobre, pas moins de 722 manuscrits produits par l’un de ses modèles internes d’intelligence artificielle. Un modèle que la société n’a ni nommé ni rendu accessible au public.
L’annonce a été accompagnée d’un billet de blog paru le même jour et d’un tweet dans lesquels il est notamment expliqué que ces résultats ont été préparés et discutés en amont avec le tout récent groupe consultatif indépendant sur les maths et l’IA de l’Institute for Advanced Study (IAS) de Princeton, qui rassemble des pointures du domaine. OpenAI voulait ainsi avoir des « conseils » sur la façon de partager ses résultats.
Ce collectif, mis en place le 21 septembre dernier, rassemble neuf noms qui doivent aider OpenAI à continuer ses travaux en mathématiques, mais avec une approche moins brusque. Ces derniers mois, les incursions d’OpenAI dans ce domaine de recherche avaient provoqué des tensions, à tel point que des lettres ouvertes très critiques avaient fini par sortir.
722 manuscrits, 372 familles, deux problèmes du millénaire en ligne de mire
Tout est rangé dans un dépôt baptisé « math », sur la plateforme GitHub où les développeurs partagent habituellement du code. 722 prépublications (des articles que d’autres chercheurs n’ont pas encore relus) sont partagées et regroupées en 372 « familles ». Chacune réunit un résultat principal, ses conséquences et parfois une démonstration alternative.
Toujours selon OpenAI, de nombreux textes, mais pas tous, sont accompagnés d’une version écrite en Lean, un langage de programmation qui permet à un ordinateur de vérifier une démonstration ligne par ligne. OpenAI prévient toutefois que certains résultats non formalisés « pourraient poser problème », et promet de les « corriger rapidement ».
Enfin, côté méthode, OpenAI a fait carburer son modèle interne : environ 4 000 problèmes ouverts lui ont été soumis lors de ses évaluations internes, dont sont issues les 372 familles publiées. Chaque résultat retenu a demandé en moyenne l’équivalent de trois heures de réflexion de ChatGPT Pro, l’offre la plus haut de gamme de l’assistant.
Parmi les nombreux problèmes passés à la moulinette, l’entreprise a publié également des résumés succincts du raisonnement du modèle pour dix cas provenant de plusieurs familles :
- Corrélation ordinaire à deux points des fonctions multiplicatives
- L’exposant d’irrationalité de pi
- Conjectures de Mahler symétrique et générale
- NP-difficulté ordinaire au seuil semidéfini de base
- Bornes quasi-polynomiales pour les progressions arithmétiques
- Conjecture de finitude directe de Kaplansky en caractéristique deux
- La formule de Mézard–Parisi pour les verres de spin dilués
- Aimantation spontanée dans le ferromagnétique de Heisenberg quantique
- Isomorphisme des facteurs de groupes libres
- Le système de Vlasov–Maxwell relativiste tridimensionnel
De fait, OpenAI revendique des avancées sur des questions qui résistent aux mathématiciens depuis des décennies, même si l’entreprise admet elle-même que ces résultats n’ont pas (encore) tous été vérifiés et que certains pourraient contenir des erreurs. Mais ce qui retiendra certainement le plus l’attention, c’est ce qui a été avancé sur l’hypothèse de Riemann.
« Une médaille Fields immédiate » si un humain l’avait fait
La preuve : Alex Kontorovich, professeur à l’université Rutgers et spécialiste de la théorie des nombres, fait partie des premiers à avoir réagi. « Si un humain avait fait ça, ce serait une médaille Fields immédiate, sans discussion », a-t-il écrit sur X à propos d’un résultat qu’il surnomme « quasi-RH » (pour quasi-Riemann Hypothesis).
L’hypothèse de Riemann, formulée en 1859, fait partie des sept « problèmes du millénaire » recensés par l’institut Clay.
Elle porte sur la fonction zêta, dont les zéros (les points où elle s’annule) gouvernent la répartition des nombres premiers. Selon l’hypothèse, tous les zéros « intéressants » se trouvent sur une seule ligne verticale, d’abscisse 1/2, au milieu d’une bande qui va de 0 à 1. « Sa démonstration améliorerait la connaissance de la répartition des nombres premiers », résume Wikipédia.
Jusqu’ici, on savait seulement exclure les zéros d’une marge collée au bord de cette bande, et cette marge rétrécissait à mesure qu’on montait le long de l’axe, explique Alex Kontorovich : « Le meilleur qu’on avait […] était une région qui s’amincissait de plus en plus au fur et à mesure que tu montais sur l’axe imaginaire. »
Or, le modèle d’OpenAI revendique une marge de largeur fixe : aucun zéro au-delà de 7/8, quelle que soit la hauteur. Un second manuscrit démontre, par une autre méthode, une version un peu plus faible avec une limite à 11/12. La conjecture complète reste ouverte, puisqu’il faudrait descendre jusqu’à 1/2, mais on passerait d’une marge qui s’amenuise à une bande de largeur constante, ce que personne n’avait obtenu jusqu’ici.
« Je pensais peut-être qu’ils l’épaissiraient un peu, ce serait une percée massive. Mais non. Ils ont obtenu une bande sans zéros !!!! Incroyable », ajoute Alex Kontorovich. L’intéressé balaie d’ailleurs le « quasi « de-cette appellation : « Tu te moques de moi ? »
« Tu te moques de moi ? Si un humain avait fait ça, ce serait une médaille Fields instantanée, sans aucune question. »
Alex Kontorovich
« Le moment le plus significatif de l’histoire des maths », selon un chercheur d’Anthropic
Dans un second message, le mathématicien note que le modèle exclurait aussi les « zéros de Siegel », des zéros qui font office de contre-exemples potentiels à l’hypothèse de Riemann généralisée. Si le résultat tient, il n’y en aurait donc pas, résume Alex Kontorovich. Réaction du mathématicien ? « Je suppose donc que ça fait deux médailles Fields… »
Ce résultat phare a pourtant un statut à part.
Le dépôt GitHub précise que la quasi-totalité des manuscrits sortent d’une même procédure automatisée, à deux exceptions près : le travail sur la fonction zêta et une démonstration liée à la conjecture de Hodge (un autre problème du millénaire). Et la rédaction du résultat sur zêta a été retouchée par des humains « pour la lisibilité ».
Même Levent Alpöge, le mathématicien d’Anthropic qui avait disputé à OpenAI le crédit de sa percée sur Navier-Stokes, vient de saluer ces deux résultats. Il estime que « c’est bien sûr le moment le plus significatif de l’histoire des mathématiques ». Une déclaration forte, et une reconnaissance notable après la lourde polémique de plagiat.
Sur X, Sam Altman, le CEO d’OpenAI, a salué « une nouvelle ère de la découverte ». D’autres pensent même qu’OpenAI minimise l’événement « pour des raisons de communication », et que les mathématiciens doivent avoir l’impression qu’une bombe nucléaire vient de leur tomber dessus. Et le pire, peut-être, c’est que ce n’est peut être que la première détonation.
+ rapide, + pratique, + exclusif
Zéro publicité, fonctions avancées de lecture, articles résumés par l'I.A, contenus exclusifs et plus encore.
Découvrez les nombreux avantages de Numerama+.
Vous avez lu 0 articles sur Numerama ce mois-ci
Tout le monde n'a pas les moyens de payer pour l'information.
C'est pourquoi nous maintenons notre journalisme ouvert à tous.
Mais si vous le pouvez,
voici trois bonnes raisons de soutenir notre travail :
- 1 Numerama+ contribue à offrir une expérience gratuite à tous les lecteurs de Numerama.
- 2 Vous profiterez d'une lecture sans publicité, de nombreuses fonctions avancées de lecture et des contenus exclusifs.
- 3 Aider Numerama dans sa mission : comprendre le présent pour anticiper l'avenir.
Si vous croyez en un web gratuit et à une information de qualité accessible au plus grand nombre, rejoignez Numerama+.
Toute l'actu tech en un clin d'œil
Ajoutez Numerama à votre écran d'accueil et restez connectés au futur !
Un édito exclusif, un guide, une reco de lecture et l’agenda de la rédaction : c’est ce que vous trouverez tous les jeudis dans ToujoursPlus, la newsletter tech écrite par Julien Cadot. Inscrivez-vous gratuitement ici !