Navier-Stokes, conjecture de Poincaré… : quels sont ces fameux problèmes du millénaire

L’affaire restera certainement comme l’une des grandes polémiques des mathématiques en 2026.

D’abord en raison de la multiplicité des acteurs : des mathématiciens, d’une part, et des spécialistes en intelligence artificielle d’autre part, sans oublier certaines très grandes entreprises du secteur qui investissent énormément de temps, d’argent et de moyens pour briller. En l’espèce, il s’agit ici surtout d’OpenAI et Anthropic, deux firmes rivales.

Ensuite parce que le sujet implique l’un des problèmes du prix du millénaire : les fameuses équations de Navier-Stokes, qui traitent de l’écoulement des fluides, gazeux ou liquides. Or, résoudre l’une de ces énigmes, qui ont été établies en 2000 par l’Institut de mathématiques Clay, donne droit à un prix d’un million de dollars (environ 860 000 €).

À ce jour, seul l’un d’eux a été pleinement résolu. Mais ces derniers mois, on a assisté à des progrès sur un autre problème, grâce à des percées obtenues par Anthropic et ses systèmes d’intelligence artificielle : l’hypothèse de Riemann. C’était en août. Et ce mardi 8 septembre, c’est un autre défi qui a été mis à mal, cette fois par OpenAI : les équations de Navier-Stokes.

La controverse est la suivante : deux mathématiciens ayant utilisé des outils IA d’Anthropic et d’OpenAI pour faire progresser leurs travaux suspectent OpenAI d’avoir utilisé leurs brouillons déposés sur ses services pour les coiffer au poteau. OpenAI s’en défend, en estimant que ses résultats sont différents de ceux obtenus par le duo.

À cela s’ajoutent des reproches de basse manœuvre de la part d’OpenAI, pour écarter l’un des deux du duo parce qu’il travaille pour Anthropic, tandis que les membres d’OpenAI disent au contraire que les deux mathématiciens fermaient en réalité la porte à toute coopération. Quant à savoir si OpenAI a pu accéder, volontairement ou non, aux travaux du binôme, la question n’est pas totalement tranchée.

Deux récits désormais s’opposent, avec des tweets, des captures d’écran et des pages et des pages de démonstration.

Mais au-delà des équations de Navier-Stokes, quels sont donc les autres problèmes du prix du millénaire ? À quoi s’intéressent-ils ? Quelle est leur histoire ? Quel est à ce jour le seul défi qui a été résolu ? Voilà un bref résumé des sept défis pour lesquels les mathématiciens s’arrachent les cheveux… en attendant, peut-être, que l’IA finisse par les résoudre.

L’hypothèse de Riemann

Depuis plus de 160 ans, l’hypothèse du mathématicien Bernhard Riemann demeure intacte. En 1859, il publie un article scientifique intitulé « Sur le nombre de nombres premiers inférieurs à une taille donnée ». Bernhard Riemann s’y intéresse aux nombres premiers. On utilise ce terme pour qualifier un entier naturel (positif, qui permet de dénombrer) qui n’a pour seuls diviseurs que 1 et lui-même.

Prédire les nombres premiers est complexe. Comme l’explique Interesting Engineering, ils ne semblent suivre aucun modèle. Identifier un nombre premier ne permet pas de prédire le suivant. Il faut étudier d’autres nombres entre temps. Pour résoudre ce problème, Bernhard Riemann a cherché à étudier les nombres premiers dans l’autre sens : peut-on prédire combien de nombres premiers sont plus petits qu’un nombre entier donné ?

Le mathématicien a créé la fonction zêta de Riemann. D’après lui, la fréquence des nombres premiers est très proche de cette fonction. « L’hypothèse de Riemann affirme que toutes les solutions intéressantes de l’équation se situent sur une certaine ligne droite verticale », explique l’Institut de mathématiques Clay. Les 10 000 milliards de premières solutions de l’équation ont été vérifiées. Mais ensuite ? Vérifier que l’hypothèse est toujours vraie permettrait d’en savoir davantage sur la distribution de ces nombres premiers.

C’est justement sur ce terrain qu’une IA s’est illustrée en août 2026. Anthropic a annoncé qu’une version non publiée de son modèle Claude avait fait progresser une question connexe : la proportion de zéros de la fonction zêta dont on sait qu’ils vérifient l’hypothèse. Le modèle a relevé cette borne de 41,6 % à 67,2 %.

Deux mathématiciens d’Anthropic ont validé la démonstration, et deux spécialistes du domaine, Brian Conrey et Dan Goldston, ont examiné l’article. Il ne prouve toutefois en rien l’hypothèse de Riemann elle-même, qui reste entière.

Le problème P=NP

« S’il est facile de vérifier que la solution d’un problème est correcte, est-il aussi facile de résoudre le problème ? » : voilà comment l’Institut de mathématiques Clay résume le problème P=NP. Vous pouvez espérer un million de dollars si vous parvenez à démontrer que P=NP, que P≠NP ou qu’il n’existe aucune démonstration possible. Mais en quoi consiste cette énigme ?

L’institut propose un exemple pour comprendre. Vous avez un groupe de 400 étudiants à loger, avec un nombre de places limité. Seuls 100 étudiants pourront obtenir une place. Par ailleurs, vous avez une liste de paires d’étudiants qui ne sont pas compatibles : aucune des paires de cette liste ne doit apparaître dans la liste finale des étudiants.

Dans cette situation, vous pouvez vérifier facilement si une liste de 100 étudiants remplit ces critères. Néanmoins, « générer une telle liste à partir de zéro semble être si difficile qu’elle est tout à fait irréaliste », explique l’institut. Le nombre de façons de choisir les 100 étudiants parmi les 400 est plus élevé que le nombre d’atomes connus dans l’univers. Si vous réussissez à montrer qu’il existe bien des problèmes dont la solution peut être vérifiée rapidement, mais qui sont trop longs à résoudre, le million de dollars sera à vous.

Les équations de Navier-Stokes

Il s’agit en fait de plusieurs équations. Elles décrivent le mouvement des fluides, comme l’eau et l’air. Le défi consiste à trouver les solutions de ces équations et à vérifier qu’elles sont uniques. Les équations ont été nommées ainsi pour rendre hommage à deux scientifiques du XIXe siècle, Claude-Louis Navier et George Gabriel Stokes.

« Les vagues suivent notre bateau alors que nous nous frayons un chemin à travers le lac et des courants d’air turbulents nous suivent en vol à bord d’un jet moderne », illustre l’Institut de mathématiques Clay. Comment prédire cette brise et ces turbulences ? La résolution des équations de Navier-Stokes est peut-être la solution.

Actuellement, seules des résolutions approchées sont utilisées, notamment par des météorologistes, pour comprendre les courants océaniques et les mouvements d’air dans l’atmosphère.

C’est précisément ce problème qu’OpenAI dit avoir ébranlé le mardi 8 septembre. Selon l’entreprise, un modèle interne épaulé par environ 10 000 agents a produit sa démonstration en 88 heures. Il existerait ainsi des fluides qui, partis d’un état parfaitement normal, atteignent une vitesse infinie en un temps fini, un emballement que les mathématiciens appellent blowup (explosion).

Comme ce comportement est physiquement impossible pour un vrai fluide, les équations cesseraient, dans certaines conditions, de refléter la réalité. L’Institut Clay n’a toutefois pas validé ce résultat et continue de classer ce problème parmi les défis non résolus.

La conjecture de Hodge

Le mathématicien écossais William Hodge a formé cette conjecture au XXe siècle. Elle porte sur la géométrie algébrique et part du principe que des structures géométriques ont « une contrepartie algébrique », comme l’explique IFLScience. Cette dernière peut servir d’intermédiaire pour étudier les formes en question.

Pour comprendre ce dilemme, il faut faire un peu d’histoire. En 1637, Descartes montre comment la géométrie, devenue de plus en plus complexe, peut être exprimée sous forme algébrique – autrement dit, que l’observation géométrique et les calculs peuvent aboutir au même résultat. Quelques siècles plus tard, des objets géométriques ont ainsi été définis à partir de l’algèbre : on les appelle variétés algébriques. Si bien que certaines équations ont commencé à devenir particulièrement complexes à représenter sous forme géométrique.

Comme l’explique la mathématicienne Claire Voisin, cette conjecture permet de lier des domaines différents des mathématiques. « La conjecture n’a pas d’application concrète prévisible comme les autres problèmes du millénaire, mais elle a permis d’impulser de nouveaux champs de recherche », note la spécialiste. Encore faut-il espérer la démontrer : William Hodge en avait eu l’idée, mais n’était pas parvenu à la vérifier.

La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer

Cette autre conjecture porte sur les courbes elliptiques. Selon l’Institut de mathématiques Clay, ce sont « des objets mathématiques fondamentaux qui apparaissent dans de nombreux domaines » (elles servent par exemple à décrire le mouvement des toupies).

L’institut rappelle que les mathématiciens ont cherché à trouver toutes les solutions possibles pour des nombres entiers, par exemple x, y ou z dans l’équation suivante (résolue par Euclide) : x²+y²=z². On parle d’équation diophantienne, car les solutions sont proposées parmi les nombres entiers. Mais que se passe-t-il lorsque les équations deviennent plus complexes ?

Bryan John Birch et Peter Swinnerton-Dyer, deux mathématiciens britanniques, ont proposé leur conjecture pour tenter de trouver des points sur des courbes elliptiques. Pour l’instant, la conjecture n’a été démontrée que sur des cas précis. Tout l’enjeu est de montrer qu’elle est toujours valable.

Les équations de Yang-Mills

Les physiciens théoriciens Chen-Ning Yang et Robert Mills ont établi cette théorie pour rendre compte d’un phénomène physique. Ce cadre sert à « décrire les particules élémentaires à l’aide de structures également présentes en géométrie », explique l’Institut de mathématiques Clay.

De nombreuses théories sur les particules élémentaires ont pour base ce cadre, vérifié en laboratoire. Mais ses fondements mathématiques sont bien plus obscurs. La difficulté vient de « l’écart de masse », qui n’a pas encore été expliqué théoriquement. La résolution de ces équations pourrait potentiellement guider les scientifiques vers de nouveaux concepts fondamentaux en physique et mathématiques, selon l’institut.

La conjecture de Poincaré (résolue)

C’est le seul des problèmes du prix du millénaire qui a été résolu. La conjecture de Poincaré a été démontrée en 2003 par Grigori Perelman, un mathématicien russe. Presque un siècle plus tôt, en 1904, le mathématicien français Henri Poincaré la mettait au point pour tenter de mieux comprendre des formes à trois dimensions, et notamment la « sphère de dimension trois » ou « 3-sphère ».

« Poincaré s’est demandé s’il existait un test permettant de reconnaître le fait qu’une forme soit la 3-sphère en effectuant des mesures et d’autres opérations à l’intérieur de la forme », expliquait l’Institut de mathématiques Clay dans son communiqué annonçant la résolution de la conjecture.

Les travaux de Poincaré auraient pu devancer Einstein et son travail sur la relativité. Il s’intéressait à la stabilité du système solaire, se demandant si les planètes et astéroïdes restaient continuellement sur leurs orbites (ou s’ils pourraient être éjectés au fin fond de la galaxie).

Ironie de l’histoire : Grigori Perelman a refusé la récompense décernée par l’Institut de mathématiques Clay pour la résolution de cette conjecture. Il n’a pas récupéré le million de dollars qui l’attendait. Auparavant, il avait aussi refusé un prix de la Société mathématique européenne, ainsi que la médaille Fields.

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