Est-on à l’aube d’une nouvelle résolution d’un des problèmes du prix du millénaire ? En tout cas, on est pour l’heure en pleine polémique autour des équations de Navier-Stokes, l’un des sept grands défis déterminés par l’institut de mathématiques Clay. À la clé, si quelqu’un réussit à en résoudre un : un prix d’un million de dollars (environ 860 000 euros).
Le 8 septembre, l’entreprise OpenAI, spécialisée en intelligence artificielle, a annoncé qu’un de ses modèles internes a produit une preuve concernant les équations de Navier-Stokes. Ce serait, si c’est vrai, une avancée clé : à ce jour, un seul de ces défis a été résolu, la conjecture de Poincaré, démontrée par le Russe Grigori Perelman au début des années 2000.
OpenAI raconte avoir mobilisé le 1er septembre environ 10 000 agents en parallèle, qui ont abouti en quelque 88 heures à une preuve de 165 pages, accompagnée d’une vérification en Lean, un langage qui contrôle chaque étape du raisonnement. Sam Altman, le CEO de l’entreprise, s’est empressé de relayer le résultat.
Ce déploiement a coûté cher. Lors de son point presse, rapporté par Axios, OpenAI a chiffré la facture de calcul en « millions de dollars » pour ce seul problème, ce qui suggère des millions de messages échangés et des milliards de tokens consommés avant d’aboutir. Le prix du millénaire n’est pas assez doté pour couvrir les dépenses induites.
Pour ce travail, OpenAI a mobilisé un modèle de nouvelle génération « bien plus performant » que GPT-6 Astra, pourtant tout juste sorti du four. Il « affiche une amélioration spectaculaire sur de nombreux benchmarks, et son apprentissage se poursuit actuellement », selon la société, le tout dans un environnement surveillé et isolé.
« Le groupe a apporté une preuve analytique et une formalisation Lean démontrant que, dans le cadre de la dynamique de Navier-Stokes, un fluide peut développer une singularité en un temps fini », écrit encore OpenAI. « La solution prend la forme d’un vortex, un tourbillon de fluide en rotation, qui s’enroule vers l’intérieur et s’allonge de plus en plus, à l’image de spaghettis ».
Cela étant dit, à ce stade, la preuve n’a été validée par personne d’autre qu’OpenAI. La formalisation en Lean atteste de la cohérence logique du raisonnement, rappelle Scientific American, mais l’ensemble doit encore être lu, disséqué et accepté par la communauté avant d’être tenu pour un résultat acquis. Il convient donc de demeurer prudent.
Un détail technique explique en partie pourquoi OpenAI ne coche pas toutes les cases du problème. La preuve ne concerne pas les équations de Navier-Stokes « nues », mais une version où l’on ajoute une force extérieure qui pousse le fluide (le régime dit « forcé »). Or, savoir si une explosion obtenue avec une telle force extérieure « compte » vraiment pour le prix fait précisément partie des discussions.
Problème : pour qui ne suit pas de près l’actualité des mathématiques et de l’IA, l’annonce faite par OpenAI est entachée d’une polémique grave. Non pas parce que la solution avancée n’est pas tout à fait la résolution finale de ce fameux problème du millénaire (OpenAI n’entend pas réclamer le magot, de toute façon), mais en raison d’un soupçon de plagiat.
Qui a trouvé quoi en premier ?
L’affaire est décrite dans un article publié précédemment sur Numerama. Dans la matinée du 8 septembre, deux chercheurs ont dévoilé leurs propres travaux : le mathématicien Tristan Buckmaster, de l’université de New York, et Levent Alpöge, chercheur chez Anthropic, une entreprise qui est directement rivale d’OpenAI.
Pour rappel, les équations de Navier-Stokes décrivent la façon dont l’eau, l’air ou la fumée s’écoulent ; on s’en sert pour la météo, l’aéronautique ou l’étude de la circulation sanguine. Le problème posé demande si leurs solutions restent bien lisses en toutes circonstances, ou si elles peuvent « exploser ».
Les deux partenaires, en s’appuyant sur des outils d’IA (Codex d’OpenAI et Claude d’Anthropic), ont passé environ un an sur des équations voisines de celles de Navier-Stokes. Leurs résultats ont été remarqués et salués par leurs pairs, et pourraient, selon Terence Tao, médaille Fields 2006, aider à la résolution finale de ces équations.
Or, Tristan Buckmaster suggère qu’OpenAI a eu vent de leur méthode la semaine précédente, l’a reprise pour coiffer tout le monde au poteau, et a cherché à écarter Levent Alpöge des mentions parce qu’il travaille chez un concurrent. Il craint surtout qu’OpenAI ait entraîné en secret un modèle à partir de ses brouillons stockés dans Codex.
Sébastien Bubeck, qui dirige l’équipe de mathématiques d’OpenAI, a déjà démenti ces accusations dans la journée, les jugeant « fausses et incendiaires » : il a par la suite publié deux autres tweets plus étoffés, dans le sillage de l’annonce d’OpenAI pour apporter le point de vue de son entreprise et des précisions plus techniques.
Une tentative de collaboration qui n’aboutit pas
Sur X, OpenAI a voulu calmer le jeu. « Nous félicitons Levent Alpöge et Tristan Buckmaster pour leur remarquable travail mathématique », a déclaré la société, mais a précisé que « [ses] preuves diffèrent significativement et même les résultats précis prouvés sont différents dans le cas d’Euler (forcé vs. non forcé) » (l’une des équations voisines).
Sam Altman a également apporté des éléments supplémentaires, d’abord pour défendre l’intégrité de ses équipes, ensuite pour reconnaître que les rumeurs selon lesquelles les modèles d’Anthropic avaient résolu un problème du millénaire avaient été vécues comme un camouflet. C’est ce qui aurait poussé l’équipe à cravacher ces jours-ci.
Ce n’est pas tout. D’après le patron d’OpenAI, « nous pensions au départ que l’autre équipe avait également résolu le problème. […] Lorsque nous avons appris qu’ils avaient Euler mais pas Navier-Stokes, nous avons proposé de les laisser passer en premier, de suggérer qu’ils devraient être ceux à recevoir le prix. »
Une offre a bien été formulée à Tristan Buckmaster pour qu’il soit « l’auteur principal d’une réécriture de la preuve d’OpenAI ». Dans le cas de Levent Alpöge, ça aurait été « difficile » du fait de son emploi chez Anthropic. Il « n’était de toute façon pas disposé à discuter ou à coordonner avec nous ». La porte était fermée.
OpenAI estime que les deux résultats sont assez différents
Le message de Sam Altman se résume donc à la tentative de collaboration, voire de publication conjointe, et d’une recherche de solution commune. Il n’y a finalement ni eu coordination, ni véritable communication. « L’équipe nous a menacés avec des accusations infondées de plagiat ». Et les articles de démonstration ont fini par sortir.
La mise sur la place publique des travaux de recherche de Buckmaster et Alpöge fait dire à Sam Altman que « les approches semblent différentes ». Précédemment, Sébastien Bubeck a publié des textos pour illustrer ces efforts de discussion avec Levent Alpöge, qui n’ont pas abouti.
Surtout, l’entreprise a tenu à souligner que ni les chercheurs ni les agents IA n’ont « vu aucun de leurs travaux par quelque moyen que ce soit jusqu’à ce qu’ils le publient publiquement – en particulier, aucune donnée utilisateur spécifique n’a été accédée afin de résoudre ce problème ». Il y a cependant une légère incertitude qui demeure, et qu’OpenAI admet :
« Bien que cela soit peu probable, nous ne pouvons pas exclure que des données dé-identifiées dérivées de leur utilisation de nos produits aient aidé à améliorer nos modèles », lit-on encore dans le tweet. Tristan Buckmaster, lui, a déjà réagi sur Mastodon pour souligner un morceau du communiqué qui soulignerait le manque d’éthique d’OpenAI dans cette affaire.
« Il convient de noter qu’ils admettent ouvertement avoir utilisé des données d’entraînement provenant d’une période postérieure à la découverte de nos résultats. Est-il éthique d’utiliser les données d’un client pour tenter de devancer ses propres clients ? », écrit-il.
Quand bien même OpenAI voudrait empocher le million de dollars, la route serait longue. Les règles de l’institut Clay sont strictes : une solution doit d’abord paraître dans une revue à comité de lecture, obtenir « l’acceptation générale » de la communauté mathématique mondiale, et il faut attendre au moins deux ans après cette publication avant que le prix puisse être décerné.
Or, vu le ramdam actuel, on n’en est pas encore là.
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