Petit à petit, les IA commencent à s’attaquer efficacement à des problèmes de maths restés ouverts pendant des décennies — ou à en proposer des solutions inattendues. Le planar unit distance problem part d’une question très simple, posée par le mathématicien Paul Erdős en 1946 : si l’on place n points dans le plan, combien de paires de points peuvent, au maximum, être exactement à distance 1 ?
Le 20 mai 2026, OpenAI a annoncé qu’un de ses modèles internes, présenté comme un general-purpose reasoning model — un modèle généraliste, non conçu spécifiquement pour les mathématiques — avait permis de trouver une nouvelle famille de configurations de points. Celle-ci dépasse la borne que l’on pensait imposée par la conjecture classique d’Erdős. En clair, le modèle aurait proposé une structure de contre-exemple que les mathématiciens n’avaient pas envisagée en près de 80 ans.
Dans le détail (pour les plus courageux) OpenAI affirme que cette construction produit, pour une infinité de valeurs de n, au moins n^(1+δ) paires à distance 1, pour un certain δ > 0.
En quoi consiste ce problème de géométrie vieux de 80 ans ?
Concrètement, en géométrie plane, la distance entre deux points est la longueur du segment droit qui les relie. Dire que deux points sont « à distance 1 », c’est donc dire que ce segment mesure exactement 1 dans l’unité choisie — comme on dirait, dans la vie courante, que deux objets sont à 1 mètre l’un de l’autre.
Dans le unit distance problem, on se place dans le plan euclidien classique. On choisit un certain nombre de points, puis l’on compte toutes les paires de points situées exactement à distance 1 entre eux.
On peut le formuler de manière imagée ainsi : on place des points sur une feuille, puis on trace un trait entre deux points chaque fois qu’ils sont séparés par une « règle » de longueur 1. Le but est d’organiser les points de façon à maximiser le nombre de ces traits.
Depuis des décennies, ce type de problème est attaqué avec plusieurs outils :
- D’abord, les méthodes classiques de géométrie discrète et de combinatoire, qui s’appuient notamment sur des constructions régulières — grilles, motifs répétitifs — pour approcher le maximum possible.
- Ensuite, les calculs assistés par ordinateur, utiles pour explorer des configurations finies, mais qui restent souvent limités dans leur capacité à proposer de nouvelles idées mathématiques.
- Enfin, plus récemment, des modèles d’IA de type GPT-4, o1 et leurs successeurs, capables de résoudre des exercices de concours, des problèmes universitaires, voire certains problèmes de recherche bien balisés.
Dans ce contexte, le planar unit distance problem faisait figure de symbole : une conjecture d’Erdős datant de 1946, centrale en géométrie discrète, sur laquelle les mathématiciens avaient accumulé des bornes partielles et des constructions sophistiquées, sans parvenir à trancher la question générale.
Comment OpenAI a-t-elle trouvé de nouvelles solutions ?
OpenAI explique qu’un de ses modèles internes a été utilisé pour chercher non seulement une preuve abstraite, mais surtout une nouvelle famille de configurations de points. L’enjeu n’était donc pas seulement de démontrer une borne connue, mais de trouver une construction capable de dépasser ce que la conjecture classique jugeait possible.
Selon l’entreprise, le modèle a fini par relier la géométrie discrète à des outils venus de la théorie algébrique des nombres. Le billet d’OpenAI cite notamment les tours infinies de corps de classes et la théorie de Golod–Shafarevich, des objets très éloignés, en apparence, de la simple question des points placés sur une feuille.
Dans le détail, le modèle aurait permis de découvrir une famille de configurations de points dans le plan produisant un nombre de paires à distance 1 strictement supérieur à ce qu’autorisait la conjecture classique d’Erdős.
Autrement dit, cette conjecture est réfutée : il existe des arrangements plus efficaces — au sens du nombre de paires à distance 1 — que ce que l’on pensait possible. Cela ne donne pas encore la réponse définitive à toutes les versions du problème, mais cela montre que la borne conjecturée par Erdős était fausse.
Le modèle ne s’est pas contenté de deviner que la conjecture pouvait être fausse : il a proposé une recette précise pour placer les points, suffisamment détaillée pour être réécrite en langage mathématique classique.
À partir de cette ébauche fournie par l’IA, des mathématiciens ont ensuite repris la main. Ils ont reformulé la construction, comblé les détails manquants et vérifié que l’argument tenait. OpenAI précise que la preuve a été relue par un groupe de mathématiciens externes, qui ont également rédigé un texte d’accompagnement pour expliquer l’argument et en situer l’importance.
OpenAI affirme toutefois, dans son billet de blog, que le problème a été résolu « en autonomie » par l’IA : « C’est la première fois qu’un problème ouvert majeur, central dans un sous-domaine des mathématiques, est résolu de manière autonome par une IA », avance l’entreprise. Une formulation qui peut être discutée, puisque des mathématiciens humains ont fortement contribué à la mise en forme, à la vérification et à la contextualisation du résultat.
Pour éviter le scénario d’une preuve qui s’effondrerait quelques mois plus tard, la démonstration devra aussi résister à l’examen de la communauté mathématique. Dans ce type de situation, les assistants de preuve formelle peuvent également jouer un rôle : ces logiciels vérifient mécaniquement chaque étape d’un raisonnement. Une formalisation complète réduirait encore le risque qu’une erreur subtile soit passée inaperçue.
OpenAI a évidemment salué cette avancée. Dans un message publié sur X le 20 mai 2026, une employée de l’entreprise a replacé l’annonce dans une progression plus large : après avoir atteint, l’an dernier, un niveau médaille d’or aux Olympiades internationales de mathématiques, les modèles d’IA montreraient désormais qu’ils peuvent contribuer à de véritables travaux de recherche.
L’enthousiasme ne vient pas seulement de l’entreprise. Tim Gowers –médaille Fields, qui s’est aussi exprimé sur X — a estimé que si un humain avait rédigé cet article et l’avait soumis aux Annals of Mathematics, il en aurait recommandé l’acceptation « sans la moindre hésitation ». « Aucune preuve générée par l’IA jusqu’à présent n’a été aussi performante », a-t-il déclaré, selon le billet d’OpenAI.
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