On les croise tous les jours sans jamais vraiment les nommer. Pourtant, les équations de Navier-Stokes sont centrales : elles décrivent la façon dont un fluide, liquide ou gazeux, se déplace. L’eau qui sort d’un robinet, l’air qui glisse sur l’aile d’un avion, la fumée qui s’élève au-dessus d’une bougie ou même les mouvements d’un nuage.
Cela parait simple dit comme cela, mais ce n’est qu’une impression : Quanta Magazine les qualifie par exemple d’équations les plus coriaces de la physique. Et on les retrouve également dans la liste des sept problèmes du prix du millénaire, établie en 2000 par l’Institut de mathématiques Clay. En somme, c’est du sérieux.
Sur le principe de départ, les choses semblent faciles : la somme des forces est égale à la masse multipliée par l’accélération, comme le rappelle le CEA dans une vidéo didactique. C’est la deuxième loi de Newton, qu’on applique ici à un fluide vu comme une matière continue, sans avoir à suivre chaque molécule une par une.
Ces équations ont été formalisées au XIXe siècle par le mathématicien Henri Navier et le physicien britannique George Gabriel Stokes.
Le premier, raconte le CNRS, a l’idée d’introduire un terme additionnel à une autre équation, celle d’Euler, pour représenter une perte d’énergie dans le fluide — et donc les effets des frottements au niveau moléculaire. Quant au second, il établit un modèle décrivant l’évolution d’un fluide visqueux (pour justement rendre compte de cette dissipation d’énergie).
Alors, où est le piège ?
La réponse tient en un mot, la turbulence, ce phénomène qu’on ressent dans un avion secoué comme dans un tourbillon d’évier. Les mathématiciens redoutent un scénario précis : en partant d’un fluide bien lisse et calme, les équations pourraient propulser une particule à une vitesse infinie en un temps fini.
Ce dérapage porte un nom, la « singularité » (qui n’a rien à voir avec celle qui est liée à l’IA et la technologie), et il signerait la défaillance du modèle, car dans le monde réel, aucun fluide ne se déplace infiniment vite. Ceci explique pourquoi l’Institut Clay a jugé bon d’inscrire l’existence et la régularité des solutions parmi ses sept problèmes du millénaire.
Forcé ou non forcé, toute la subtilité
Arrive donc OpenAI dans le débat.
Dans son explication, le problème officiel se décline en quatre versions appelées A, B, C ou D. Deux d’entre elles demandent de prouver qu’un fluide reste sage pour toujours, livré à lui-même. Les deux autres autorisent une force extérieure et se demandent si, dans ce cas, le fluide peut s’emballer.
Lors de sa prise de parole du 8 septembre, OpenAI explique que son système « a permis d’apporter une preuve analytique et une formalisation démontrant qu’un fluide initialement régulier au repos peut développer une singularité en un temps fini ». Mais il y a un point notable : ici, on parle d’une force ajoutée au fluide.
« Une force régulière est appliquée à ce fluide, et son énergie reste finie tout au long de la dynamique, depuis le repos jusqu’à la formation de la singularité. Cela résout le problème du Prix du Millénaire de Navier-Stokes en établissant l’énoncé « C » (ainsi que « D ») de la formulation officielle du prix du millénaire », écrit l’entreprise américaine.
En l’espèce, toujours selon OpenAI, la solution réside dans un vortex, un tourbillon de fluide qui s’enroule vers l’intérieur et s’allonge progressivement, à l’image de spaghettis. Cette région centrale se rétrécit tout en accélérant, de telle sorte que son énergie reste finie, comme l’exigent les lois de la physique.
Or, la nuance « forcé » ou « non forcé » change justement tout. Dans la version forcée, donc dans la version d’OpenAI, on a le droit de pousser le fluide en continu avec une force venue de l’extérieur, un peu comme si on injectait de l’énergie dans le système. Fabriquer un emballement devient alors plus accessible.
Toute la difficulté est de le faire sans « tricher » : interdit de balancer une force à la main, infinie ou non. La force doit rester lisse et bornée, et c’est le mouvement propre du fluide qui doit engendrer la singularité. Tout l’enjeu du vortex tient là, dans un cœur qui rétrécit plus vite qu’il ne s’allonge, où la vitesse explose sans que l’énergie déborde.
Voilà pourquoi l’exploit revendiqué est réel sans être le Graal. La version vraiment fondamentale, celle où aucune force extérieure n’entre en jeu, n’est pas concernée par cette preuve — qui doit de toute façon encore être vérifiée par les mathématiciens, même si le formalisme de la démonstration a déjà été assuré par le logiciel Lean.
De toute façon, OpenAI a dit d’ailleurs ne pas vouloir réclamer le million de dollars (sans doute ne pourrait-il pas y prétendre de toute façon), et à ce stade, personne n’a encore décroché le prix. Quant à la bataille de paternité qui entoure l’annonce, avec un mathématicien qui accuse OpenAI et le chercheur d’Anthropic sorti du silence, c’est une autre histoire.
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